ファン・デル・パウ法

ファン・デル・パウ法（英：van der Pauw Method）は、試料の電気抵抗率およびホール係数を測定するために一般的に用いられる手法である。 その長所は厚みの薄いシートのような物質であれば、ある程度任意の形状の試料の電気抵抗率について正確に測定できる点である。電極は 周囲 に配置される。 ファン・デル・パウ法は、 四端子測定法とは対照的に、試料の周囲に配置された4点プローブを採用している。

ファン・デル・パウ法で得られた測定値から、材料の以下の特性を計算することができる

• 材料の電気抵抗率
• P型半導体かN型半導体か（すなわち不純物半導体のドーパントの種類）。
• シートにおける多数キャリア の密度（単位面積当たりの多数キャリアの数）。 ここから電荷密度とドナー準位を求めることができる。
• 多数キャリアの移動度

この方法は、1958年にレオ・J・ファン・デル・パウによって初めて提唱された。

条件

ファン・デル・パウ法を用いるためには、必ず満たされなければならない５つの条件がある

1. 試料の形状は平板で、厚さは均一である
2. 試料には孤立した穴がない（試料の表面が単連結である）
3. 試料は均質であり、かつ等方性をもつ
4. 全ての接触面が試料の端に位置している
5. 全ての接触面について、その面積が試料全体の面積よりも少なくとも一桁小さい

試料の調整

ファン・デル・パウ法で測定するには、試料の厚さは試料の幅や長さよりも十分に小さくなければならない。また、計算の誤差を減らすため、試料は左右対称であることが望ましい。さらに試料内に孤立した穴があってはならない。

この測定では接触面は整流作用のない接合（オーミック接触）である必要がある。また、接触面について、以下の条件を満たす必要がある

• 接触面の面積を可能な限り小さくする
• 接触面はできるだけ試料の境目に近づける

また、半導体はゼーベック効果など熱電効果が金属より大きいので、熱電効果を小さくするため、接触面からのリード線は同じロットの導線を用いるのが望ましい

各記号の意味

• 接触面は、左上の接触面から反時計回りに1から4までの番号が付けられている。

• 電流${\displaystyle I_{12}}$は、接触面1に注入され接触面2から取り出される正の直流電流である
• 電圧${\displaystyle V_{34}}$は、外部から磁界が印加されていない状態で接触面3と接触面4の間（すなわち${\displaystyle V_{4}-V_{3}}$）で測定された直流電圧である。
• 抵抗率${\displaystyle \rho }$はオーム・メートル（Ω・m）で測定される。
• シート抵抗${\displaystyle R_{S}}$は、1平方オーム

抵抗率の測定

試料の平均抵抗率は、ρ＝RS・tで与えられ、ここでシート抵抗RSは以下のように決定されます。異方性材料の場合、個々の抵抗率成分、例えばρxやρyは、モンゴメリ法を用いて計算することができます。

基本的な測定方法

測定を行うには、試料の一辺に沿って電流を流し（例えばI12）、反対側の辺を横切る電圧（この場合はV34）を測定する。この2つの値から抵抗（この例では𝑅12,34)は、オームの法則を用いて求めることができる：

${\displaystyle R_{12,34}={\frac {V_{34}}{I_{12}}}}$ファン・デル・パウはその論文の中で、任意の形状の試料のシート抵抗が、以下のような垂直エッジに沿って測定された2つの抵抗から決定できることを示した。𝑅12,34のような垂直エッジに沿って測定したものと、水平エッジに沿って測定したものである。𝑅23,41. 実際のシート抵抗は、ファン・デル・パウの公式によってこれらの抵抗に関連付けられます。

${\displaystyle e^{-\pi R_{12,34}/R_{s}} e^{-\pi R_{23,41}/R_{s}}=1}$

相互測定

互恵性の定理[1]によれば、次のようになる。

${\displaystyle R_{AB,CD}=R_{CD,AB}}$したがって、より正確な抵抗値を求めることができる。𝑅12,34および𝑅23,41の逆数を2回追加測定することで、次のようになる。𝑅34,12と𝑅41,23とし、結果を平均化する。

We define

${\displaystyle R_{\text{vertical}}={\frac {R_{12,34} R_{34,12}}{2}}}$電子のような荷電粒子が 磁場 の中に置かれると、ローレンツ力を受ける、 ローレンツ力 磁場の強さとその中を進む速度に比例する。 この力は、進行方向が磁場の方向に垂直な場合に最も強くなる。

${\displaystyle R_{\text{horizontal}}={\frac {R_{23,41} R_{41,23}}{2}}}$

すると、ファンデルパウの公式は次のようになる。

${\displaystyle e^{-\pi R_{\text{vertical}}/R_{S}} e^{-\pi R_{\text{horizontal}}/R_{S}}=1}$

Reversed polarity measurements

ここで、 は粒子の電荷で、 クーロン 、 粒子の移動速度（センチメートル毎秒間 ）、 磁場の強さ（ Wb^/cm2 ）。 なお、半導体業界では長さを測るのにセンチメートルがよく使われる。そのため、ここでは SI単位 のメートルの代わりにセンチメートルを使っている。

${\displaystyle R_{\text{vertical}}={\frac {R_{12,34} R_{34,12} R_{21,43} R_{43,21}}{4}}}$電子のような荷電粒子が 磁場 の中に置かれると、ローレンツ力を受ける、 ローレンツ力 磁場の強さとその中を進む速度に比例する。 この力は、進行方向が磁場の方向に垂直な場合に最も強くなる。

${\displaystyle R_{\text{horizontal}}={\frac {R_{23,41} R_{41,23} R_{32,14} R_{14,32}}{4}}}$ファン・デル・パウの公式は、前節と同じ形をとる。

測定精度

上記の両方の手順で、測定の再現性をチェックする。 逆極性測定のいずれかが、対応する標準極性測定と十分な精度（通常は3％以内）で一致しない場合は、おそらくセットアップのどこかにエラーの原因があり、続行する前に調査する必要があります。 同じ原則が逆極性測定にも当てはまり、計算に使用する前に十分な精度で一致する必要があります。

シート抵抗の計算

一般的に、van der Pauwの公式は、既知の関数でシート抵抗_RSを与えるために並べ替えることはできません。 最も顕著な例外は、_Rvertical= R =_{Rhorizontalの}場合で、このシナリオではシート抵抗は次式で与えられます。

${\displaystyle R_{S}={\frac {\pi R}{\ln 2}}}$商 はファンデルパウ定数として知られ、近似値4.53236を持つ。 その他のほとんどのシナリオでは、反復法 を用いて、 van der Pauw の公式を_RS に対して数値的に解きます。 通常、この公式は、 バナッハ固定点定理 の前提条件を満たしていないと見なされるため、これに基づく方法は機能しない。 その代わり、 入れ子になった区間 はゆっくりだが着実に収束する。 しかし最近，ファンデルパウ問題の適切な再定式化（例えば，第2のファンデルパウ公式の導入）によって，バナッハ固定点法によって完全に解けるようになることが示されたあるいは、ニュートン・ラプソン法は比較的早く収束する。 表記の複雑さを軽減するために、以下の変数を導入する：

${\displaystyle s=e^{-\pi /{R_{s}}}}$

${\displaystyle R_{v}=R_{vertical}}$

${\displaystyle R_{h}=R_{horizontal}}$次に、次の近似値 。

${\displaystyle R_{s}^{ }=R_{s} R_{s}^{2}{\frac {1-s^{R_{v}}-s^{R_{h}}}{\pi (R_{v}s^{R_{v}} R_{h}s^{R_{h}})}}}$

ホール測定

背景

電子のような荷電粒子が 磁場 の中に置かれると、ローレンツ力を受ける、 ローレンツ力 磁場の強さとその中を進む速度に比例する。 この力は、進行方向が磁場の方向に垂直な場合に最も強くなる。

${\displaystyle F_{L}=qvB\,\!}$ここで は粒子の電荷でクーロン 、 粒子の移動速度（センチメートル毎秒間 ）、 磁場の強さ ( Wb^/cm2)。 なお、半導体業界では長さを測るのにセンチメートルがよく使われる。そのため、ここでは SI単位 のメートルの代わりにセンチメートルを使っている。

半導体材料に電流を流すと、材料中を電子が定常的に流れる（添付図の(a)と(b)の部分）。 電子の移動速度は（ 電流 を参照）：

${\displaystyle v={\frac {I}{nAq}}}$ここで、 は電子密度、 は物質の断面積、 素電荷 (1.^602×10-19 クーロン )。次に、電流の流れる方向に垂直な外部磁場を印加すると、その結果生じるローレンツ力によって、電子は試料の一方の端に集積する（図の(c)の部分を参照）。 上記の2つの式を組み合わせ、 が電子の電荷であることに注目すると、電子が経験するローレンツ力の式が得られます：

${\displaystyle F_{L}={\frac {IB}{nA}}}$この蓄積は、図の(d)の部分に示されているように、電荷の偏在により、材料全体に電界 を生じさせる。 これは、ホール電圧 として知られる、 電位差 を材料全体にもたらす。 しかし、電流は材料に沿ってしか流れず、これは電界による電子への力がローレンツ力と釣り合っていることを示している。 電界から電子にかかる力 は であるため、電界の強さは次のように言える。

${\displaystyle \epsilon ={\frac {IB}{qnA}}}$最後に、ホール電圧の大きさは、単純に電界の強さに材料の幅を掛けたものである、

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{H}&=w\epsilon \\&={\frac {wIB}{qnA}}\\&={\frac {IB}{qnt}}\end{aligned}}}$シート抵抗_RSは抵抗率を試料の厚さで割ったものであり、シート密度_nSはドーピング・レベルを厚さで掛けたものであることに注意すれば、式を厚さで割って次のようになる。

${\displaystyle V_{H}={\frac {IB}{qn_{s}}}}$

測定

2組の測定を行う必要があります。1組は上記のようにz方向が正の磁場、もう1組はz方向が負の磁場です。ここからは、正の磁場で記録された電圧には添え字Pが付き（例えば、V13, P = V3, P - V1, P）、負の磁場で記録された電圧には添え字Nが付きます（例えば、V13, N = V3, N - V1, N）。すべての測定で、注入電流の大きさは同じに保つ必要があります。磁場の大きさも両方向で同じにする必要があります。

まず正磁場で、電流I24を試料に流し、電圧V13, Pを記録する。これをI13とV42, Pについて繰り返す。

前回と同様、相互性の定理を利用することで、これらの測定の正確さをチェックすることができる。電流の向きを逆にすれば（すなわち、電流I42を印加してV31, Pを測定し、I31とV24, Pについてこれを繰り返す）、V13, PはV31, Pと同じ誤差の範囲で一致するはずである。同様に、V42, PとV24, Pは一致するはずである。

測定が完了したら、正の磁場の代わりに負の磁場を印加し、上記の手順を繰り返して電圧測定値V13、N、V42、N、V31、N、V24、Nを得る。     

計算

最初に、正と負の磁場に対する電圧の差が計算される： V₁₃ = V_{13, P} − V_{13, N} V₂₄ = V_{24, P} − V_{24, N} V₃₁ = V_{31, P} − V_{31, N} V₄₂ = V_{42, P} − V_{42, N} 全体のホール電圧は次のようになる。

${\displaystyle V_{H}={\frac {V_{13} V_{24} V_{31} V_{42}}{8}}}$.このホール電圧の極性は、試料の材料の種類を示し、プラスなら材料はP型、マイナスなら材料はN型である。そして、背景で示した式を並べ替えると、シート密度

${\displaystyle n_{s}={\frac {IB}{q|V_{H}|}}}$磁場Bの強さは、_nsが ^cm-2の場合、Wb^/cm2の単位である必要があることに注意されたい。 例えば、強さが一般的に使用される テスラス の単位で与えられている場合、¹⁰-4 を掛けることで変換できる。

その他の計算

移動度半導体材料の抵抗率は、次のように示すことができる。

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{q(n\mu _{n} p\mu _{p})}}}$ここで、nと pはそれぞれ物質中の電子と正孔の濃度であり、μ_nと μ_pはそれぞれ電子と正孔の移動度である。一般に、材料は十分にドープされているため、2つの濃度の間には何桁もの差があり、この方程式を次のように簡略化することができる。

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{qn_{m}\mu _{m}}}}$シート抵抗_RSは抵抗率を試料の厚さで割ったものであり、シート密度_nSはドーピング・レベルを厚さで掛けたものであることに注意すれば、式を厚さで割って次のようになる。

${\displaystyle \mu _{m}={\frac {1}{qn_{s}R_{s}}}}$次に、これを再配列すると、先に計算したシート抵抗とシート密度から、多数キャリア移動度を求めることができる：

${\displaystyle \mu _{m}={\frac {1}{qn_{s}R_{s}}}}$

• van der Pauw, L.J. (1958). “A method of measuring specific resistivity and Hall effect of discs of arbitrary shape”. Philips Research Reports 13: 1–9. http://www.extra.research.philips.com/hera/people/aarts/_Philips Bound Archive/PRRep/PRRep-13-1958-001.pdf. 
• van der Pauw, L.J. (1958). “A method of measuring the resistivity and Hall coefficient on lamellae of arbitrary shape”. Philips Technical Review 20: 220–224. http://electron.mit.edu/~gsteele/vanderpauw/vanderpauw.pdf. 
• “Hall Effect Measurements”. National Institute of Standards and Technology. 2006年6月15日時点のオリジナルよりアーカイブ。2006年6月24日閲覧。
• Measuring Electrical Conductivity and Resistivity with the van der Pauw Technique